الأعدادالمركبةشرحشاملومبسط
مقدمةعنالأعدادالمركبة
الأعدادالمركبة(الأعدادالعقدية)هيأعدادرياضيةتمثلامتدادًاللأعدادالحقيقية،وتتكونمنجزئين:جزءحقيقيوجزءتخيلي.تُكتبالأعدادالمركبةعادةًعلىالصورة:الأعدادالمركبةشرحشاملومبسط
a+bi
حيث:
-aهوالجزءالحقيقي
-bهوالجزءالتخيلي
-iهيالوحدةالتخيلية،حيثi²=-1
لماذانستخدمالأعدادالمركبة؟
فيالرياضياتوالهندسةوالفيزياء،لاتكفيالأعدادالحقيقيةدائمًالوصفبعضالظواهر،مثلحلولبعضالمعادلاتالجبرية.علىسبيلالمثال،المعادلةx²+1=0ليسلهاحلفيالأعدادالحقيقية،لكنفيالأعدادالمركبةيكونحلهاx=±i.
خصائصالأعدادالمركبة
الجمعوالطرح:
الأعدادالمركبةشرحشاملومبسط
عندجمعأوطرحعددينمركبين،نجمعأونطرحالأجزاءالحقيقيةوالتخيليةبشكلمنفصل.
مثال:
(3+2i)+(1+4i)=(3+1)+(2i+4i)=4+6iالضرب:
الأعدادالمركبةشرحشاملومبسط
نضربالأعدادالمركبةباستخدامخاصيةالتوزيع،معتذكرأنi²=-1.
مثال:
(2+3i)×(1+2i)=2×1+2×2i+3i×1+3i×2i=2+4i+3i+6i²=2+7i+6(-1)=-4+7iالقسمة:
الأعدادالمركبةشرحشاملومبسط
لقسمةعددينمركبين،نضربالبسطوالمقامفيمرافقالمقام(نغيرإشارةالجزءالتخيلي).
مثال:
(1+i)/(1-i)=[(1+i)(1+i)]/[(1-i)(1+i)]=(1+2i+i²)/(1-i²)=(1+2i-1)/(1-(-1))=2i/2=i
التمثيلالهندسيللأعدادالمركبة
يمكنتمثيلالعددالمركبa+biكنقطةفيالمستوىالإحداثي(مستوىالأعدادالمركبة)،حيث:
-المحورالأفقييمثلالجزءالحقيقي
-المحورالرأسييمثلالجزءالتخيلي
تطبيقاتالأعدادالمركبة
- الهندسةالكهربائية:تُستخدمفيتحليلالدوائرالكهربائيةالتيتعملبالتيارالمتردد.
- معالجةالإشارات:تساعدفيتحليلالإشاراتوالموجات.
- الفيزياءالكمية:تلعبدورًاأساسيًافيمعادلاتميكانيكاالكم.
خاتمة
الأعدادالمركبةأداةرياضيةقويةتُستخدمفيالعديدمنالمجالاتالعلميةوالتقنية.فهمهايتيححلمشكلاتلايمكنحلهاباستخدامالأعدادالحقيقيةفقط.
الأعدادالمركبةشرحشاملومبسط