الأعدادالمركبةشرحشاملومبسط
مقدمة
الأعدادالمركبة(الأعدادالعقدية)هيأعدادرياضيةتمثلامتدادًاللأعدادالحقيقية،وتتكونمنجزأين:جزءحقيقيوجزءتخيلي.تُستخدمهذهالأعدادفيالعديدمنالمجالاتمثلالهندسةالكهربائيةوالفيزياءوالرياضياتالمتقدمة.فيهذاالمقال،سنتعرفعلىمفهومالأعدادالمركبة،خصائصها،وكيفيةالتعاملمعها.الأعدادالمركبةشرحشاملومبسط
تعريفالعددالمركب
العددالمركبيُكتبعادةًبالصيغة:
[z=a+bi]
حيث:
-aهوالجزءالحقيقيمنالعدد.
-bهوالجزءالتخيليمنالعدد.
-iهيالوحدةالتخيلية،حيث(i^2=-1).
خصائصالأعدادالمركبة
الجمعوالطرح:عندجمعأوطرحعددينمركبين،نجمعأونطرحالأجزاءالحقيقيةوالتخيليةبشكلمنفصل.
مثال:
[(3+2i)+(1-4i)=(3+1)+(2i-4i)=4-2i]
الأعدادالمركبةشرحشاملومبسط
الضرب:يتمضربالأعدادالمركبةباستخدامخاصيةالتوزيع،معمراعاةأن(i^2=-1).
مثال:
[(2+3i)\times(1-i)=2\times1+2\times(-i)+3i\times1+3i\times(-i)=2-2i+3i-3i^2=2+i+3=5+i]
الأعدادالمركبةشرحشاملومبسط
القسمة:لقسمةعددينمركبين،نضربالبسطوالمقامفيمرافقالمقاملإزالةالجزءالتخيليمنالمقام.
الأعدادالمركبةشرحشاملومبسط
مثال:
[\frac{ 1+i}{ 2-i}=\frac{ (1+i)(2+i)}{ (2-i)(2+i)}=\frac{ 2+i+2i+i^2}{ 4-i^2}=\frac{ 2+3i-1}{ 4+1}=\frac{ 1+3i}{ 5}=\frac{ 1}{ 5}+\frac{ 3}{ 5}i]
التمثيلالهندسيللأعدادالمركبة
يمكنتمثيلالعددالمركب(z=a+bi)كنقطةفيالمستوىالإحداثي،حيث:
-المحورالأفقييمثلالجزءالحقيقي(a).
-المحورالرأسييمثلالجزءالتخيلي(b).
تُعرفهذهالطريقةبتمثيلمستوىالأعدادالمركبةأومستوىأرغاند.
القيمةالمطلقةوالزاوية
القيمةالمطلقة(المعيار):
الأعدادالمركبةشرحشاملومبسط
[|z|=\sqrt{ a^2+b^2}]
تمثلمسافةالنقطةمنالأصلفيالمستوىالإحداثي.الزاوية(الطور):
الأعدادالمركبةشرحشاملومبسط
[\theta=\tan^{ -1}\left(\frac{ b}{ a}\right)]
تمثلالزاويةالتييصنعهاالمتجهمعالمحورالحقيقي.
الصيغةالقطبيةللأعدادالمركبة
يمكنكتابةالعددالمركبباستخدامالصيغةالقطبية:
[z=r(\cos\theta+i\sin\theta)]
حيث:
-(r=|z|)هوالمعيار.
-(\theta)هوالزاوية.
تطبيقاتالأعدادالمركبة
- الهندسةالكهربائية:تُستخدمفيتحليلدوائرالتيارالمتردد.
- الفيزياء:تساعدفيحلالمعادلاتالموجيةومعادلاتالكم.
- الرسوماتالحاسوبية:تُستخدمفيتوليدالفركتلاتوالتحويلاتالهندسية.
الخاتمة
الأعدادالمركبةهيأداةرياضيةقويةتُستخدمفيالعديدمنالتطبيقاتالعلميةوالهندسية.منخلالفهمأساسياتهاوخصائصها،يمكنناتطبيقهافيحلالمشكلاتالمعقدةبكفاءة.نأملأنيكونهذاالمقالقدساعدكفيفهمالأعدادالمركبةبشكلأفضل!
الأعدادالمركبةشرحشاملومبسطالأعدادالمركبة(ComplexNumbers)هيأحدالمفاهيمالأساسيةفيالرياضياتالتيتجمعبينالأعدادالحقيقيةوالأعدادالتخيلية.تُستخدمهذهالأعدادعلىنطاقواسعفيالعديدمنالمجالاتمثلالهندسةالكهربائية،والفيزياء،وحتىفيعلومالحاسوب.فيهذاالمقال،سنتعرفعلىماهيةالأعدادالمركبة،كيفيةتمثيلها،العملياتالحسابيةالأساسيةعليها،وبعضالتطبيقاتالعمليةلها.
الأعدادالمركبةشرحشاملومبسطماهيالأعدادالمركبة؟
العددالمركبهوعدديمكنالتعبيرعنهبالصيغةالتالية:
[z=a+bi]
حيث:
-(a)هوالجزءالحقيقيمنالعددالمركب.
-(b)هوالجزءالتخيليمنالعددالمركب.
-(i)هيالوحدةالتخيلية،والتيتُعرفبأنهاالجذرالتربيعيللعدد(-1)،أيأن(i^2=-1).
علىسبيلالمثال،العدد(3+4i)هوعددمركبحيثالجزءالحقيقيهو(3)والجزءالتخيليهو(4).
الأعدادالمركبةشرحشاملومبسطتمثيلالأعدادالمركبة
يمكنتمثيلالأعدادالمركبةبعدةطرق،منها:
الأعدادالمركبةشرحشاملومبسط- التمثيلالجبري:وهوالتعبيرعنالعددالمركببالصيغة(a+bi).
- التمثيلالهندسي:حيثيمكنتمثيلالعددالمركبكنقطةفيالمستوىالمركب(المستوىالديكارتي)،حيثيمثلالمحورالأفقيالجزءالحقيقيوالمحورالرأسيالجزءالتخيلي.
- التمثيلالقطبي:حيثيُعبرعنالعددالمركبباستخدامالمسافةمنالأصل((r))والزاوية((\theta))بالصيغة(z=r(\cos\theta+i\sin\theta)).
العملياتالحسابيةعلىالأعدادالمركبة
يمكنإجراءالعملياتالحسابيةالأساسيةمثلالجمعوالطرحوالضربوالقسمةعلىالأعدادالمركبة:
الأعدادالمركبةشرحشاملومبسطالجمعوالطرح:يتمجمعأوطرحالجزأينالحقيقيوالتخيليبشكلمنفصل.
الأعدادالمركبةشرحشاملومبسط
مثال:
[(2+3i)+(1+4i)=(2+1)+(3+4)i=3+7i]الضرب:يتمضربالأعدادالمركبةباستخدامخاصيةالتوزيعومراعاةأن(i^2=-1).
الأعدادالمركبةشرحشاملومبسط
مثال:
[(1+2i)\times(3+4i)=1\times3+1\times4i+2i\times3+2i\times4i=3+4i+6i+8i^2=3+10i-8=-5+10i]القسمة:تتطلبعمليةالقسمةضربالبسطوالمقامفيمرافقالمقاملإزالةالجزءالتخيليمنالمقام.
الأعدادالمركبةشرحشاملومبسط
مثال:
[\frac{ 1+2i}{ 3+4i}=\frac{ (1+2i)(3-4i)}{ (3+4i)(3-4i)}=\frac{ 3-4i+6i-8i^2}{ 9-16i^2}=\frac{ 3+2i+8}{ 9+16}=\frac{ 11+2i}{ 25}=\frac{ 11}{ 25}+\frac{ 2}{ 25}i]
تطبيقاتالأعدادالمركبة
تستخدمالأعدادالمركبةفيالعديدمنالتطبيقاتالعملية،منها:
-الهندسةالكهربائية:فيتحليلدوائرالتيارالمتردد(AC).
-معالجةالإشارات:فيتحليلالإشاراتوالموجاتباستخدامتحويلفورييه.
-الفيزياءالكمية:حيثتلعبالأعدادالمركبةدورًاأساسيًافيمعادلاتميكانيكاالكم.
الخاتمة
الأعدادالمركبةهيأداةرياضيةقويةتُستخدمفيالعديدمنالمجالاتالعلميةوالتقنية.منخلالفهمأساسياتهاوتمثيلاتهاالمختلفة،يمكنالاستفادةمنهافيحلمشكلاتمعقدةفيالهندسةوالفيزياءوغيرها.نأملأنيكونهذاالمقالقدساعدكفيفهمالأعدادالمركبةبشكلأفضل!
الأعدادالمركبةشرحشاملومبسط