الأعدادالمركبةشرحشاملومبسط
مقدمةعنالأعدادالمركبة
الأعدادالمركبة(الأعدادالعقدية)هيأعدادرياضيةتمثلامتدادًاللأعدادالحقيقية،وتتكونمنجزئين:جزءحقيقيوجزءتخيلي.تُكتبالأعدادالمركبةعادةًبالصيغةa+bi،حيث:
-aهوالجزءالحقيقي
-bهوالجزءالتخيلي
-iهيالوحدةالتخيلية،حيثi²=-1الأعدادالمركبةشرحشاملومبسط
لماذانستخدمالأعدادالمركبة؟
ظهرتالحاجةإلىالأعدادالمركبةلحلالمعادلاتالتيلايوجدلهاحلفيمجموعةالأعدادالحقيقية،مثلالمعادلةx²+1=0.باستخدامالوحدةالتخيليةi،يصبححلهذهالمعادلةx=±i.
تطبيقاتالأعدادالمركبة:
- الهندسةالكهربائية:تُستخدمفيتحليلالدوائرالكهربائيةالتيتعملبالتيارالمتردد.
- معالجةالإشارات:تساعدفيتحليلالإشاراتوالموجات.
- الفيزياءالكمية:تلعبدورًاأساسيًافيمعادلاتميكانيكاالكم.
العملياتالأساسيةعلىالأعدادالمركبة
1.الجمعوالطرح
لجمععددينمركبينz₁=a+biوz₂=c+di:
z₁+z₂=(a+c)+(b+d)i
2.الضرب
لضربعددينمركبين:
z₁×z₂=(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i
3.القسمة
لقسمةعددينمركبين،نضربالبسطوالمقامفيمرافقالمقام:
[\frac{ a+bi}{ c+di}=\frac{ (a+bi)(c-di)}{ c²+d²}]
التمثيلالهندسيللأعدادالمركبة
يمكنتمثيلالعددالمركبz=a+biكنقطةفيالمستوىالإحداثي(مستوىالأعدادالمركبة)،حيث:
-المحورالأفقي(x):يمثلالجزءالحقيقي.
-المحورالرأسي(y):يمثلالجزءالتخيلي.
الصيغةالقطبيةللأعدادالمركبة
يمكنالتعبيرعنالعددالمركبباستخدامالإحداثياتالقطبية:
[z=r(\cosθ+i\sinθ)]
حيث:
-rهوالمقدار(المعيار)ويُحسببـ√(a²+b²).
-θهيالزاوية(الطور)وتُحسببـtan⁻¹(b/a).
خاتمة
الأعدادالمركبةأداةرياضيةقويةتُستخدمفيالعديدمنالمجالاتالعلميةوالتقنية.فهمهايتيححلمعادلاتلايمكنحلهاباستخدامالأعدادالحقيقيةفقط،كماأنهاتوفرتمثيلًاهندسيًايساعدفيتحليلالظواهرالفيزيائيةوالهندسية.
الأعدادالمركبةشرحشاملومبسطمقدمةعنالأعدادالمركبة
الأعدادالمركبة(الأعدادالعقدية)هيأعدادتتكونمنجزأين:جزءحقيقيوجزءتخيلي.تُكتبعادةًعلىالصورةa+bi،حيث:
-aهوالجزءالحقيقي
-bهوالجزءالتخيلي
-iهيالوحدةالتخيلية،حيثi²=-1
تعتبرالأعدادالمركبةامتدادًاللأعدادالحقيقية،وتلعبدورًاأساسيًافيالعديدمنالمجالاتمثلالهندسةوالفيزياءوالهندسةالكهربائية.
الأعدادالمركبةشرحشاملومبسطخصائصالأعدادالمركبة
الجمعوالطرح:
الأعدادالمركبةشرحشاملومبسط
عندجمعأوطرحعددينمركبين،نجمعأونطرحالأجزاءالحقيقيةوالتخيليةبشكلمنفصل.
مثال:
(3+2i)+(1+4i)=(3+1)+(2i+4i)=4+6iالضرب:
الأعدادالمركبةشرحشاملومبسط
لضربعددينمركبين،نستخدمخاصيةالتوزيعونأخذفيالاعتبارأنi²=-1.
مثال:
(2+3i)×(1+2i)=2×1+2×2i+3i×1+3i×2i=2+4i+3i+6i²=2+7i+6(-1)=-4+7iالقسمة:
الأعدادالمركبةشرحشاملومبسط
لقسمةعددينمركبين،نضربالبسطوالمقامفيمرافقالمقام(يتمتغييرإشارةالجزءالتخيلي).
مثال:
(4+5i)÷(1+2i)=[(4+5i)(1-2i)]÷[(1+2i)(1-2i)]
التمثيلالهندسيللأعدادالمركبة
يمكنتمثيلالعددالمركبa+biكنقطةفيالمستوىالإحداثي(مستوىالأعدادالمركبة)،حيث:
-المحورالأفقييمثلالجزءالحقيقي(a)
-المحورالرأسييمثلالجزءالتخيلي(b)
هذاالتمثيليُعرفباسممخططأرغاند،ويسهلفهمالعملياتمثلالجمعوالضربهندسيًا.
الأعدادالمركبةشرحشاملومبسطتطبيقاتالأعدادالمركبة
- الهندسةالكهربائية:تُستخدمفيتحليلالدوائرالكهربائيةالتيتعملبالتيارالمتردد(AC).
- معالجةالإشارات:تساعدفيتحليلالإشاراتوالموجاتباستخدامتحويلفورييه.
- الميكانيكاالكمية:تلعبدورًاأساسيًافيمعادلاتميكانيكاالكم.
الخلاصة
الأعدادالمركبةهيأداةرياضيةقويةتُستخدمفيالعديدمنالتطبيقاتالعلميةوالهندسية.فهمهايتطلبمعرفةأساسياتالجبروالهندسة،لكنهاتفتحأبوابًالفهمظواهرمعقدةفيالطبيعةوالتكنولوجيا.
الأعدادالمركبةشرحشاملومبسطإذاكنتمهتمًابتعلمالمزيد،يمكنكاستكشافمواضيعمثلصيغةأويلرأوالجذورالتكعيبيةللوحدة،والتيتعتمدبشكلكبيرعلىالأعدادالمركبة.
الأعدادالمركبةشرحشاملومبسط